Impedanzmessung im Niederfrequenzbereich

ID: 421011

Impedanzmessung im Niederfrequenzbereich

23.Jul.17 09:34

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Jochen Bauer (D)
Redakteur
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Häufig stellt sich auch im Niederfrequenzbereich die Aufgabe Impedanzen zu messen. Man denke zum Beispiel an die Messung der Impedanz eines Lautsprechers bei einer gegebenen Frequenz. Generell wird man dabei an der vollständigen komplexen Impedanz Z, also dem Ohmschen Widerstand R und dem Blindwiderstand X gemäß

$Z=R+jX$

interessiert sein. Während die Messung von Impedanzen im Hochfrequenzbereich durch die nicht zu vermeidenden parasitären Kapazitäten der Messgeräte und des Messaufbaus problematisch ist, können im Niederfrequenzbereich bis ca. 20kHz diese Einflüsse meistens vernachlässigt werden und es kann mit einfachen Spannungsteilern, wie im folgenden Diagramm dargestellt gearbeitet werden.

Hier treibt ein Sinusgenerator einen aus der unbekannten Impedanz Z und einem bekannten ohmschen Messwiderstand R_M bestehenden Spannungsteiler an. Mit einem 2-Kanal Oszilloskop wird nun die Sinusspannung an den Punkten 1 und 2 gegenüber Masse (GND) gemessen. Der Messwiderstand R_M sollte zur Optimierung der Genauigkeit so gewählt werden, dass die Amplitude der Sinusspannung am Punkt 2 grob der Hälfte der Amplitude der Sinusspannung am Punkt 1 entspricht.

Da der Masseausgang (GND) des Sinusgenerators typischerweise genauso mit dem elektrischen
Schutzleiter verbunden ist wie der Masseanschluss der Eingänge des Oszilloskopes muss darauf
geachtet werden keinen Kurzschluss in der Messanordnung zu produzieren. Die gezeigt Anordnung
ist daher so aufgebaut, dass die Masse (GND) von Sinusgenerator und Oszilloskop zusammenfällt.

Mit Hilfe der Formeln für den (komplexen) Spannungsteiler [1] ergibt sich unmittelbar

$\frac{U_1}{Z+R_{\scriptscriptstyle M}}=\frac{U_2}{R_{\scriptscriptstyle M}}$

Für die unbekannte Impedanz Z folgt daraus

$Z=R_{\scriptscriptstyle M}\left(\frac{U_1}{U_2}-1\right)$

mit den komplexen Spannungen U₁ und U₂. Komplexe Spannungen sind zunächst rein mathematische
Größen, die phasenverschobene Sinusspannungen beschreiben. Um zu messbaren Größen zu gelangen verwenden wir die Zeigerdarstellung [2]

$U=\lvert U\rvert e^{j\varphi}$

Dabei ist |U| die Amplitude der Sinusspannung und φ deren Phasenwinkel. Einsetzen in die obige
Gleichung liefert nun sofort

$Z=R_{\scriptscriptstyle M}\left(\frac{\lvert U_1\rvert e^{j\varphi_1}}{\lvert U_2\rvert e^{j\varphi_2}}-1\right) =R_{\scriptscriptstyle M}\left(\frac{\lvert U_1\rvert}{\lvert U_2\rvert} e^{j(\varphi_1-\varphi_2)}-1\right)$

Wir sehen, dass wir zur Bestimmung der gesuchten komplexen Impedanz Z das Amplitudenverhältnis
|U₁|/|U₂| und die Phasenverschiebung Δφ=φ₁-φ₂ der beiden Sinusspannungen gegeneinander messen müssen. Zur Berechnung des Ohmschen Anteils R und des Blindanteils X der komplexen Impedanz Z wird dieser Ausdruck mit Hilfe der Eulerschen Formel [3] in Real- und Imaginärteil aufgetrennt und man erhält:

$Z=R+jX=R_{\scriptscriptstyle M}\left(\frac{\lvert U_1\rvert}{\lvert U_2\rvert}\cos(\Delta\varphi)-1\right)+ jR_{\scriptscriptstyle M}\left(\frac{\lvert U_1\rvert}{\lvert U_2\rvert}\sin(\Delta\varphi)\right)$

Der Betrag |Z| der Impedanz lässt sich natürlich ebenfalls sofort mittels

$\lvert Z\rvert=\sqrt{R^2+X^2}$

bestimmen.

Bei der praktischen Durchführung der Messung ist zu beachten, dass eine negative Phasendifferenz
Δφ dann gegeben ist, wenn die Spannung U₂ der Spannung U₁ voraus eilt. Der Blindanteil der Impedanz Z ist in diesem Falle negativ, also kapazitiv. Dies sollte bei den gewählten Einstellungen am Oszilloskop mit einem kapazitiven Blindwiderstand Z vor Beginn der eigentlichen Messung verifiziert werden. Das nachfolgende Oszilloskopbild verdeutlicht das Prinzip der Messung:

Die Amplituden |U₁| und |U₂| können direkt abgelesen werden. Die Phasendifferenz Δφ wird bei bekannter Messfrequenz f=1/T aus der Zeitdifferenz Δt zwischen den Nulldurchgängen von U₁ und U₂ gemäß

$\Delta\varphi=360^\circ\cdot\frac{\Delta t}{T}=360^\circ\cdot\Delta t\cdot f$

bestimmt.

Referenzen:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Spannungsteiler
[2] de.wikipedia.org/wiki/Zeigermodell
[3] de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

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