Transistorparameter und Ersatzschaltungen

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Transistorparameter und Ersatzschaltungen

12.Jun.16 10:18

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Jochen Bauer (D)
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Obwohl die physikalische Funktionsweise von Bipolartransistoren als Verstärker völlig unterschiedlich zur Funktionsweise von Vakuumröhren ist, ist die Behandlung der Kleinsignaleigenschaften mit Hilfe einer linearen Näherung sehr ähnlich. Die Grundlegende Vorgehensweise bei der Behandlung der Kleinsignaleigenschaften von Verstärkerbauteilen (in diesem Fall Röhren) wurde bereits im Artikel
"Röhrenparameter, Kennlinien und Ersatzschaltungen" dargestellt.

Wir wollen diese Methodik nun auf Bipolartransistoren (NPN oder PNP) anwenden, was einen tieferen Einblick in die Unterschiede zwischen den Eigenschaften von Röhren und Bipolartransistoren als Verstärker liefert.

Die Grundlegende Beschreibungsfunktion einer Röhre ist die Abhängigkeit des Anodenstromes von der Gitter- und Anodenspannung. Analog dazu kann beim Bipolartransistor im normalen Betrieb (forward active mode), also mit Basis-Emitter Diode in Durchlassrichtung und Basis-Kollektordiode in Sperrichtung der Kollektorstrom I_C als eine Funktion der Basis-Emitter Spannung U_BE und der Kollektor-Emitter Spannung U_CE gemäß

$I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}=I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE},U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE})$

beschrieben werden. Für die Kleinsignalansteuerung wird nun wiederum völlig analog zur Röhre eine lineare Näherung um einen vorgegebenen Arbeitspunkt q (engl. quiescent) vorgenommen:

$I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE},U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE})= I_\mathrm{\scriptscriptstyle Cq}+g_m\cdot(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}-U_\mathrm{\scriptscriptstyle BEq}) +\frac{1}{r_o}\cdot(U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE}-U_\mathrm{\scriptscriptstyle CEq})$

Dabei ist

$I_\mathrm{\scriptscriptstyle Cq}=I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BEq}, U_\mathrm{\scriptscriptstyle CEq})$

der Kollektorstrom,

$g_m=\left.\frac{\partial I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}, U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE)}}{\partial U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}}\right|_\mathrm{q}$

die Steilheit und

$\frac{1}{r_o}=\left.\frac{\partial I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}, U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE)}}{\partial U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE}}\right|_\mathrm{q}$

der Kehrwert des Ausgangswiderstandes jeweils am Arbeitspunkt q. Die Bezeichnungen g_m und r_o sind dabei die in der internationalen Literatur üblichen Bezeichnungen.

Der signifikanteste Unterschied vom Bipolartransistor zur Röhre ist bekanntermaßen der endliche und relativ niedrige Eingangswiderstand zwischen Basis und Emitter. Der Bipolartransistor muss damit mit einer bestimmten Eingangsleistung angesteuert werden, wohingegen eine Röhre (zumindest in der Idealisierung) leistungslos angesteuert wird. Der Basis-Emitterstrom kann wieder als eine Funktion der Basis-Emitter Spannung U_BE und der Kollektor-Emitter Spannung U_CE beschreiben werden, also

$I_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}=I_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}, U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE})$

wobei die Abhängigkeit von der Kollektor-Emitter Spannung U_CE aber in den allermeisten Fällen vernachlässigt werden kann. Führt man nun wieder eine lineare Näherung um den Arbeitspunkt q durch, so ergibt sich

$I_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}=I_\mathrm{\scriptscriptstyle BEq}+\frac{1}{r_\pi} \cdot(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}-U_\mathrm{\scriptscriptstyle BEq})+ g_r\cdot(U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE}-U_\mathrm{\scriptscriptstyle CEq})$

Dabei ist

$\frac{1}{r_\pi}=\left.\frac{\partial I_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}, U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE})}{\partial U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}}\right|_\mathrm{q}$

der Kehrwert des Eingangswiderstandes zwischen Basis und Emitter. Die "Rückwirkungssteilheit" (engl. reverse transconductance)

$g_r=\left.\frac{\partial I_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}, U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE})}{\partial U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE}}\right|_\mathrm{q}$

ist, wie bereits erwähnt, in den allermeisten Fällen vernachlässigbar.

Damit ergibt sich natürlich analog zur Betrachtung einer Röhre die Norton-Ersatzschaltung des
Bipolartransistors als gesteuerte Stromquelle mit einem Ausgangswiderstand r_o gemäß folgendem Schaltbild:

Im Unterschied zur Röhre hat der Steuereingang der Stromquelle allerdings einen relativ geringen
Eingangswiderstand r_π.

Bei höheren Frequenzen müssen natürlich noch die Kapazitäten C_BE, C_BC und C_CE zwischen Basis, Emitter und Kollektor berücksichtigt werden. Insbesondere die im Vergleich zu einer Pentodenröhre relativ hohe Basis-Kollektor Kapazität C_BC (je nach Transistormodell einige pF) führt zu einer Rückwirkung des Ausgangs auf den Eingang, die bei Hochfrequenzanwendungen typischerweise durch eine Neutralisationsschaltung eliminiert werden muss.Die Basis-Emitter Kapazität liegt bei modernen Universaltransistoren bei einigen pF. Bei den frühen Transistoren (z.B. OC45) mussten hier jedoch deutlich höhere Werte von z.B. 1000pF in Kauf genommen werden.

Für den Normalfall, in dem die Basis-Emitter Diode in Durchlassrichtung und die Basis-Kollektor Diode in Sperrichtung gepolt ist (forward active mode) ergibt sich aus dem Ebers-Moll Transistormodell unter
Berücksichtigung des Early Effektes für den Kollektorstrom I_C in guter Näherung [1]

$I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE},U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE})= I_{\scriptscriptstyle S}\exp\left(\frac{U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}}{U_{\scriptscriptstyle T}}\right) \cdot\left(1+\frac{U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE}}{U_{\scriptscriptstyle A}}\right)$

Dabei ist I_S der Sättigungssperrstrom der typischerweise im Picoamperebereich oder darunter liegt, U_T ist die Temperaturspannung (ca. 26mV bei Raumtemperatur) und U_A ist die sogenannte Early Spannung, die je nach Transistortyp typischerweise zwischen 15V und 150V liegt. Der Basis-Emitter Strom I_BE hängt mit dem Kollektorstrom I_Cüber

$I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}=\beta\cdot I_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}$

zusammen. Der Stromverstärkungsfaktor β ist dabei allerdings keine echte Konstante, sondern hängt unter anderem von der Frequenz des Eingangssignals ab. Je nach Transistormodell sinkt β bei höheren Frequenzen mehr oder weniger schnell ab. In den Datenblättern wird β daher meistens für Gleichstrom angegeben. Ein weiteres Problem ist die Streuung von β zwischen einzelnen Exemplaren ein und desselben Transistormodells von bis zu +-50%.

Mit dem obigen Transistormodell ergeben sich nun die Parameter des Transistors am Arbeitspunkt q, der durch den Kollektorstrom I_Cq bestimmt wird zu:

$g_m=\frac{I_\mathrm{\scriptscriptstyle Cq}}{U_{\scriptscriptstyle T}}$

$r_o=\frac{U_{\scriptscriptstyle A}+U_\mathrm{\scriptscriptstyle CEq}}{I_\mathrm{\scriptscriptstyle Cq}}$

$r_\pi=\frac{\beta U_{\scriptscriptstyle T}}{I_\mathrm{\scriptscriptstyle Cq}}=\frac{\beta}{g_m}$

Hier fallen nun sofort zwei Dinge auf: Erstens, eine hohe Steilheit g_m (durch Wahl eines hohen
Kollektorgleichstromes I_C am Arbeitspunkt) muss auf Kosten eines kleinen Eingangswiderstandes r_π erkauft werden. Zweitens, der Eingangswiderstand r_π ist direkt vom Stromverstärkungsfaktor β abhängig, der selbst innerhalb einer Fertigungsserie um bis zu +-50% schwanken kann. Damit ergibt sich natürlich ebenfalls eine Schwankung des Eingangswiderstandes r_π von +-50%, was z.B. eine exakte Anpassung einer Transistorstufe an einen Schwingkreis über eine ganze Bauserie hinweg schwierig macht.

Sehen wir uns nun zum Abschluss einige praktische Beispiele an um eine Vorstellung von den Größenordnungen der Parameter g_m, r_o und r_π zu bekommen. Wir betrachten dazu die frühen Germanium-Transistoren OC44 und OC45 aus dem Jahr 1957 sowie die moderne Universal- Transistorreihe BC546, BC547 und BC548 [2],[3].

Die Steilheit g_m ist im Ebers-Moll Modell unabhängig vom Transistortyp und beträgt bei Raumtemperatur (T=300K -> U_T=26mV) und einem einem typischen Kollektorstrom von I_C=1mA näherungsweise

$g_m=\frac{1\mathrm{mA}}{26\mathrm{mV}}=38.5\mathrm{mS}$

Im Datenblatt zu den Transistoren OC44/OC45 wird g_m bei I_C=1mA mit 39mS angegeben, was eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Modell darstellt.

Sehen wir uns nun den Ausgangswiderstand r_o an. Dieser wird für den OC44 bei einer Kollektor-Emitterspannung von 6V mit typischerweise 25kΩ angegeben, beim OC45 beträgt r_o unter diesen Umständen typischerweise 67kΩ. Bei den Transistoren BC546X, BC547X und BC548X beträgt r_o laut Datenblatt typischerweise 56kΩ für die A-Serie (X=A), bei der B_Serie (X=B) ist 33kΩ und bei der C-Serie (X=C) 17kΩ als typischer Wert für r_o angegeben. Diese Werte liegen damit signifikant unter den Werten für Pentodenröhren, die problemlos 1MΩ erreichen können.

Sehen wir uns nun noch den Basis-Emitter Eingangswiderstand r_π an. Für I_C=1mA und β=100 beträgt dieser bei Raumtemperatur nach dem Ebers-Moll Modell

$r_\pi=\frac{100\cdot 26\mathrm{mV}}{1\mathrm{mA}}=2.6\mathrm{k}\Omega$

was dem für den OC44 angegebenen Wert für β=100 und I_C=1mA entspricht. Der OC45 hat aufgrund der halb so hohen Stromverstärkung von β=50 lediglich einen ungefähr halb so großen Eingangswiderstand. Bei den BC546X, BC547X und BC548X Transistoren liegt r_π für die A-Serie mit β=220 und I_C=2mA bei 2.7kΩ, die B-Serie kommt mit β=330 auf 4.5kΩ und die C-Serie mit β=600 auf 8.7kΩ, was ebenfalls eine gute Übereinstimmung mit den Vorhersagen des Ebers-Moll Modells darstellt.

Für die Praxis sind hier natürlich die Schwankungen der Stromverstärkung zwischen einzelnen Exemplaren eines Transistormodells sowie die Frequenzabhängigkeit der Stromverstärkung zu beachten. Die oben angegeben Werte aus den Datenblättern beziehen sich bei allen Transistoren auf eine Eingangsfrequenz von lediglich 1kHz.

[1] de.wikipedia.org/wiki/Bipolartransistor (LInk Mathematische Beschreibung des Bipolartransistors)

[2] www radiomuseum.org/tubes/tube_oc44.html

[3] Vishay Semiconductors Document Number 88160 08-May-02

Für diesen Post bedanken, weil hilfreich und/oder fachlich fundiert.

Der Emitterfolger

19.Aug.16 00:01

675 from 4885

Jochen Bauer (D)
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Eine unmittelbare Anwendung der im Post #1 vorgestellten Beschreibung des Kleinsignalverhaltens
eines Transistors mit Hilfe der linearen Approximation stellt die Berechnung des Emitterfolgers gemäß der folgenden Abbildung dar.

Ein Emitterfolger hat bekanntermaßen eine Spannungsverstärkung kleiner als Eins, einen relativ hohen Eingangswiderstand und einen niedrigen Ausgangswiderstand. Er eignet sich daher z.B. zur Anpassung eines hochohmigen Ausgangs einer Vorgängerstufe an einen niederohmigen Eingang einer Nachfolgestufe.

Zur Berechnung der Kleinsignaleigenschaften gehen wir von der linearen Approximation des Kollektorstroms aus Post #1 aus. Diese lautet

$I_\mathrm{\scriptscriptstyle C}(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE},U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE})=I_\mathrm{\scriptscriptstyle Cq}+ g_m\cdot(U_\mathrm{\scriptscriptstyle BE}-U_\mathrm{\scriptscriptstyle BEq})+\frac{1}{r_o}\cdot(U_\mathrm{\scriptscriptstyle CE}- U_\mathrm{\scriptscriptstyle CEq})\hspace{33pt}(1)$

Da der Stromverstärkungsfaktor beta in den allermeisten Fällen wesentlich größer als Eins ist, ist der Emitterstrom in guter Näherung gleich dem Kollektorstrom und wir werden dies im Folgenden immer voraussetzen. Weiterhin summieren sich nach der Kirchhoffschen Maschenregel die Spannung U_R
am Lastwiderstand R und die Spannung U_BE an der Basis-Emitterstrecke des Transistors zur
Basisspannung U_B auf, es ist also

$U_{\scriptscriptstyle R}+U_{\scriptscriptstyle BE}=U_B\hspace{55pt}(2)$

Ebenso summieren sich die Spannung U_R am Lastwiderstand R und die Spannung U_CE an der
Kollektor-Emitterstrecke des Transistors zur Betriebsspannung U₀ auf:

$U_{\scriptscriptstyle R}+U_{\scriptscriptstyle CE}=U_0\hspace{55pt}(3)$

In einer zum Kathodenfolger völlig analogen Rechnung (siehe Röhrenparameter, Kennlinien und Ersatzschaltungen, Post #2) ergibt sich aus den Gleichungen (1) bis (3) der Zusammenhang zwischen Basisspannung U_B und Ausgangsspannung U_R zu

$\Delta U_{\scriptscriptstyle R}=\frac{R\cdot g_m}{1+R\cdot (g_m+1/r_o)}\hspace{2pt}\Delta U_B$

Dabei ist ΔU_R=U_R-U_Rq die Abweichung der Ausgangsspannung von der Ausgangsspannung am Arbeitspunkt "q" (engl. quiescent) und ΔU_B=U_B-U_Bq die Abweichung der Basisspannung von der Basisspannung am Arbeitspunkt "q".

Da der Kehrwert des Ausgangswiderstandes 1/r_o des Transistors in den allermeisten Fällen gegenüber dessen Steilheit g_m vernachlässigt werden kann ergibt sich daraus näherungsweise

$\Delta U_{\scriptscriptstyle R}=\frac{R\cdot g_m}{1+R\cdot g_m}\hspace{2pt}\Delta U_B\hspace{55pt}(4)$

Wie erwartet ist die Spannungsverstärkung eines Emitterfolgers etwas kleiner als Eins und geht für
große Werte des Lastwiderstandes R und der Steilheit g_m asymptotisch gegen Eins.

Ebenfalls völlig analog zur Berechnung des Kathodenfolgers ergeben sich aus Gleichung (4) die Norton Ersatzschaltung des Emitterfolgers mit einer Stromquelle I=g_mΔU_B und einem Parallelwiderstand von 1/g_m gemäß der folgenden Abbildung

sowie die Thévenin Ersatzschaltung mit einer Spannungsquelle ΔU_B mit einem Ausgangswiderstand von 1/g_m gemäß der folgenden Abbildung

Aufgrund der im Vergleich zu einer Hochvakuumröhre hohen Steilheit des Bipolartransistors, die problemlos im Bereich von 100mS liegen kann (siehe Post #1) ist der Ausgangswiderstand eines Emitterfolgers deutlich geringer als der Ausgangswiderstand eines Kathodenfolgers und kann durchaus im einstelligen Ohm Bereich liegen.

Betrachten wir nun den Eingangswiderstand des Emitterfolgers. Der Eingangsstrom des Emitterfolgers
ist offensichtlich der Strom durch die Basis-Emitterstrecke des Transistors. Dieser ist in guter Näherung (siehe Post #1) gegeben durch:

$I_{\scriptscriptstyle BE}=I_{\scriptscriptstyle BEq}+\frac{1}{r_\pi}(U_{\scriptscriptstyle BE}-U_{\scriptscriptstyle BEq})$

Unter Verwendung von Gleichung (2) und (3) ergibt sich daraus

$\Delta I_{\scriptscriptstyle BE}=\frac{1}{r_\pi}\Delta U_{\scriptscriptstyle B}-\frac{1}{r_\pi}\Delta U_{\scriptscriptstyle R}$

wobei die mit Δ bezeichneten Ströme und Spannungen wiederum die Abweichung von Arbeitspunkt "q"
angeben.

Durch Einsetzen von ΔU_R aus Gleichung (4) erhält man nun den Zusammenhang zwischen Eingangsstrom (Basis-Emitterstrom) ΔI_BE und Eingangsspannung (Basisspannung) ΔU_B zu

$\Delta I_{\scriptscriptstyle BE}=\frac{1}{r_\pi}\left(1-\frac{R\cdot g_m}{1+R\cdot g_m}\right)\Delta U_{\scriptscriptstyle B}$

womit sich der Eingangsleitwert 1/R_IN zunächst zu

$\frac{1}{R_\mathrm{\scriptscriptstyle IN}}=\frac{1}{r_\pi}\left(1-\frac{R\cdot g_m}{1+R\cdot g_m}\right)$

ergibt. Dabei ist r_π der in Post #1 beschriebene Widerstand der Basis-Emitter Strecke am Arbeitspunkt
"q". Nach einer kurzen Umformung erhält man daraus den Eingangswiderstand R_IN zu

$R_\mathrm{\scriptscriptstyle IN}=r_\pi\cdot(1+R\cdot g_m)$

Im Falle eines hinreichend hohen Lastwiderstandes (R>>1/g_m) ergibt sich damit näherungsweise

$R_\mathrm{\scriptscriptstyle IN}\approx r_\pi\cdot R\cdot g_m=\frac{\beta}{g_m}\cdot R\cdot g_m=\beta R$

wobei der Zusammenhang zwischen dem Widerstand r_π der Basis-Emitter Strecke am Arbeitspunkt
"q" und dem Stromverstärkungsfaktor β aus Post #1 verwendet wurde.

Im Gegensatz zum Kathodenfolger mit einem (theoretisch) unendlich hohen Eingangswiderstand hängt
der Eingangswiderstand des Emitterfolgers vom Lastwiderstand R ab. Dabei ergibt sich R in der Praxis
aus der Parallelschaltung des Emitterwiderstandes zur Arbeitspunkteinstellung und dem
Eingangswiderstand der nachfolgenden Stufe.

Der anfangs verwendete Begriff des "relativ" hohen Eingangswiderstandes des Emitterfolgers wird
nun etwas klarer. Ist der Eingangswiderstand der nachfolgenden Stufe z.B. 50Ω, der Emitterwiderstand zur Arbeitspunkteinstellung 1kΩ, so ist R=48Ω. Bei Verwendung eines Hochfrequenztransistors mit β=100 ergibt sich der Eingangswiderstand des Emitterfolgers damit zu lediglich 4.8kΩ.

Für diesen Post bedanken, weil hilfreich und/oder fachlich fundiert.